微分

上一讲中我们介绍了导数的一种表示方法，其中和叫做微分，微分是这么定义的：

当自变量变化的时候，函数值变化量

(资料图片)

表示的高阶无穷小，其中的线性部分称为函数的微分，表示为，而可以看成函数的微分，则.两微分的比值称为微商，

由此可得，导数和微商之间的关系：

即，导数是微商在时的极限。在计算时，我们可以认为二者相等。

积分的定义与表示

在物理竞赛中，积分主要用来解微分方程。

积分最先提出，是用于求解曲线下方所围面积，以及曲面下方所围体积。

如上图为的部分函数图像，要求曲线下方的面积，我们可以将其分割为若干个小矩形，然后将所有小矩形面积求和。我们将区间等分，每个小区间长度

当时，，假设图中位置对应矩形为第个矩形，则有，该矩形的长度为，则该矩形面积

故所有矩形面积之和为

当时，上述求和趋近于某个常数(曲线下方面积)，这个常数可以表示为，称为在上的定积分。其中,分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式。

引入以上定义后，有

定积分的计算

我们先看另一个函数，如图，、两点函数值的差为，

二者的差还可以换一种方法表示：

我们依然将区间等分，则第份区间对应、两点，其水平距离

、两点函数差值为

由导数的定义，函数在点满足

而、两点函数值的差可以看成所有之和，

我们令，即为的原函数，则有

此即求定积分的"牛顿-莱布尼兹“公式。为了表示方便，我们定义

由公式可知，导函数的定积分，等于原函数对应边界值的差。

常见积分公式

要求定积分，我们需要找到对应函数的原函数，这个步骤叫做求不定积分：

上式等号右边多了一个常数的原因是，任意常数的导数都为零。这样的话，一个函数对应的原函数就有无限个，但是相互之间只差一个常数。

由常见导数容易推得常见积分公式：

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